FAQFAQ   ძიებაძიება   წევრთა სიაწევრთა სია   ჯგუფებიჯგუფები   რეგისტრაციარეგისტრაცია   პროფილიპროფილი   Login to check your private messagesLogin to check your private messages   LoginLogin 

მათემატიკა

 
ახალი თემის შექმნა   პასუხი თემაზე    ganatleba.org -> საგნობრივი საკითხები
წინა თემის ნახვა :: შემდეგი თემის ნახვა  
ავტორი შეტყობინება
Siko
Site Admin


Joined: 03 Apr 2007
წერილი: 27

წერილიგამოგზავნილია: Thu Jun 07, 2007 11:40 am    წერილის სათაური: მათემატიკა პასუხი ციტირებით

ამ ნაწილში იქნება კითხვები და პასუხები მათემატიკის საგნის შესახებ
დაბრუნება დასაწყისში
მომხმარებლის პროფილი პირადი შეტყობინების გაგზავნა
Manana Ratiani



Joined: 07 Jun 2007
წერილი: 188
ადგილმდ.: Tbilisi, Georgia

წერილიგამოგზავნილია: Thu Jun 21, 2007 8:23 am    წერილის სათაური: პასუხი ციტირებით

პატივცემულო კოლეგებო,
პირველ რიგში, გვინდა მადლობა გადაგიხადოთ თანამშრომლობისათვის და აქტიურობისათვის, რომელსაც მთელი წლის მანძილზე გაზეთის რედაქციაში შემოსული კითხვების და კომენტარების სახით გამოხატავდით.
2006-2007 წელი დანერგვის პირველი წელი იყო. ვფიქრობთ, ამ წლის მანძილზე დაგროვილი გამოცდილება დაგვეხმარება, ერთობლივად სასიკეთო ცვლილებები შევიტანოთ საგანმანათლებლო სივრცეში. გთავაზობთ ეროვნული სასწავლო გეგმებისა და შეფასების ცენტრის საგნობრივი ჯგუფების თანამშრომლების რეკომენდაციებს

რეკომენდაციები მათემატიკის ჯგუფიდან

სასკოლო მათემატიკის ძირითადი მიზანი უნდა იყოს არა მათემატიკის, როგორც ფაქტებისა და პროცედურების ერთობლიობის დასწავლა, არამედ მათემატიკა უნდა გამოყენებული იქნას, როგორც მოსწავლისათვის სხვადასხვა მნიშვნელოვანი უნარების განვითარების საშუალება. ამ მიმართულებით განსაკუთრებულ როლს ასრულებს ტექნოლოგიების გამოყენება სასწავლო პროცესში.
სასკოლო მათემატიკის სწავლების ფორმა და სასწავლო შინაარსი მნიშვნელოვნად შეიცვალა ინფორმაციული და საკომუნიკაციო ტექნოლოგიების (ისტ) განვითარების შედეგად. გარდა იმისა, რომ ამ საშუალებების გამოყენებით გაცილებით გამარტივდა ინფორმაციის მოძიება და დამუშავება, გაჩნდა ახალი ამოცანები, რომელთა გადაჭრა უშუალოდაა დაკავშირებული ტექნოლოგიების გამოყენებასთან. მოდელირებასთან, პროგნოზირებასთან, ალგორითმების შედგენასთან და გამოყენებასთან დაკავშირებული უნარების განვითარებას განსაკუთრებული მნიშვნელობა ენიჭება.
ისტ-ის გამოყენება სასწავლო პროცესში მოსწავლეებს უადვილებს:
ინფორმაციის მოძიებას, შერჩევას და ინტერპრეტირებას
კანონზომიერებების და მიმართებების აღმოჩენას
მოდელირებას, პროგნოზირებას და ჰიპოთეზის ჩამოყალიბებას; იდეების, ცნებების ვიზუალიზაციას
საკუთარი ნაშრომის უკეთ შეფასებას და მისი ხარისხის გაუმჯობესებას
კომუნიკაციას, აზრთა გაცვლა-გამოცვლას და მასალის პრეზენტაციას
გარდა ამისა, ისტ-ს გამოყენება გავლენას ახდენს სასწავლო პროცესზე. იგი მოსწავლეს საშუალებას აძლევს ჩაატაროს ექსპერიმენტი (მაგ. ვირტუალურ ლაბორატორიაში), შეისწავლოს და დაამუშაოს მონაცემთა დიდი ზომის ერთობლიობა, მოახდინოს კერძო შედეგების განზოგადება და შეამოწმოს შედეგი, განავითაროს საკუთარი მათემატიკური ენა და გაიმდიდროს ლექსიკური მარაგი.
ამასთანავე, ისტ-ის გამოყენება მასწავლებელს უადვილებს საგნის სწავლებას, თუმცა იგი მოითხოვს მასწავლებლის განსაკუთრებულ ოსტატობას. მან უნდა შეძლოს ისეთი დავალებებისა და აქტივობების შერჩევა, რომელთა შესრულებისას ისტ-ს გამოყენება მნიშვნელოვან ეფექტს იძლევა. მაგალითად, გრაფიკის აგება, დინამიური გამოსახულებების შექმნა, გამოთვლებისა და ალგებრული პროცედურების შესრულება. განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია რეალურ ვითარებასთან დაკავშირებული პრობლემური ვითარების სიმულირება და ვირტუალური ექსპერიმენტის ჩატარება, რაც ძალზე რთულია ისტ-ს გამოყენების გარეშე.
სასწავლო პროცესში ისტ-ს გამოყენება ძირითადად დაკავშირებულია:
კალკულატორთან, ელექტრონულ ცხრილებთან, ტექსტურ და საპრეზენტაციო რედაქტორებთან, ინტერნეტში სანავიგაციო სისტემებთან, გრაფიკების ასაგებ პროგრამებთან, საგანმანათლებლო JAVA აპლეტებთან და თამაშებთან.

ისტ-ის საგანმანათლებლო რესურსები:
ელექტრონული თვალსაჩინოებები მათემატიკაში

http://soft.dlf.ge/DeerLeap/math_std/vis/toc.htm

პროგრამული უზრუნველყოფა
მათემატიკა და ბუნებისმეტყველება

http://soft.dlf.ge/

ფიზიკა და მათემატიკა
http://soft.dlf.ge/Alternatives1.html


რას ნიშნავს შეკრების კომუტაციურობა და ასოციაციურობა, ასევე ადიციურობა მონაკვეთზე?
შეკრების კომუტაციურობა არის თვისება, რომლის თანახმად შესაკრებთა გადანაცვლებით ჯამი არ იცვლება, ანუ a + b = b + a. ეს თვისება ცნობილია შეკრების გადანაცვლებადობის თვისების სახელითაც.
საზოგადოდ, M სიმრავლეზე განსაზღვრული ალგებრული ოპერაცია ეწოდება შესაბამისობას, რომელიც ამ სიმრავლის ყოველ ორ a და b ელემენტს შეუსაბამებს ამავე სიმრავლის ერთადერთ ელემენტს. ალგებრული ოპერაცია კომუტაციურია, თუ კი მისი შედეგი ერთი და იგივეა, როგორც (a , b), ასევე ( b, a) წყვილისთვის. შეკრებისა და გამრავლების ოპერაციები კომუტაციურია ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეზე, ხოლო გამოკლებისა და გაყოფისა კი არა.
შეკრების ასოციაციურობა ეწოდება თვისებას, რომლის თანახმადაც ნებისმიერი სამი რიცხვისათვის სამართლიანია ტოლობა: (a + b) + c = a + (b + c). ეს თვისება ცნობილია ჯუფდებადობის თვისების სახელითაც.შეკრებისა და გამრავლების ოპერაციებს ერთმანეთთან აკავშირებს დისტრიბუციულობის (განრიგებადობის) კანონი, რომლის თანახმად ნებისმიერი a, b და c რიცხვებისათვის სამართლიანია ტოლობა: a(b + c) = ab + ac.
საზოგადოდ, სიდიდეს ეწოდება ადიციური, თუ მთლიანი ობიექტის შესაბამისი სიდიდე ტოლია ობიექტის ნაწილების შესაბამის სიდიდეთა ჯამის (ობიექტის ნებისმიერი სასრული დანაწილებისათვის). მაგალითად, ასეთი სიდიდეებია: მანძილი, მოცულობა და ფართობი.
კერძოდ, მანძილის ადიციურობა ნიშნავს შემდეგს: მაშინ როდესაც A, B და C წერტილები ერთ წრფეზე მდებარეობს და C წერტილი A და B წერტილებს შორისაა, AB მონაკვეთის სიგრძე ტოლია AC და CB მონაკვეთების სიგრძეთა ჯამის.


უკანასკნელი შემსწორებელი: Manana Ratiani. დრო: Sat Jul 21, 2007 11:35 am. შესწორებათა საერთო რაოდენობა: 3
დაბრუნება დასაწყისში
მომხმარებლის პროფილი პირადი შეტყობინების გაგზავნა
Manana Ratiani



Joined: 07 Jun 2007
წერილი: 188
ადგილმდ.: Tbilisi, Georgia

წერილიგამოგზავნილია: Thu Jun 21, 2007 8:24 am    წერილის სათაური: პასუხი ციტირებით

საკონტროლო წერებისთვის განკუთვნილ მათემატიკის ტესტებში (VII-VIII კლ.) საკონტროლო დავალების ქულების რაოდენობა იყო მაქსიმალური 10 და არა 30 და 33.
ალბათ იგულისხმება რომ სამუშაოსათვის ქულათა მაქსიმალური რაოდენობა არის 10 - ზე მეტი და როგორ შევაფასოთ ამ შემთხვევაში ნაშრომი 10 ქულიანი სისტემის გამოყენებით. გამოსავალი ძალზე მარტივია. მითუმეტეს მათემატიკის მასწავლებლისათვის. უნდა მოვახდინოთ ქულების ნორმირება, რაც იმას ნიშნავს, რომ მოსწავლის მიერ მიღებული ქულები უნდა გავყოთ მაქსიმალური ქულების რაოდენობაზე და გავამრავლოთ 10-ზე. ამის შედეგად მაქსიმალური ქულების შესაბამისი შეფასება იქნება 10 და ა.შ. მაგალითად, თუ მაქსიმალურ ქულათა რაოდენობაა 30, ხოლო მოსწავლემ მიიღო 24 ქულა მაშინ 10 ქულიანი სისტემით ნაშრომი შეფასდება ქულით. თუ შედეგი მთელი რიცხვი არ გამოდის, მაშინ მასწავლებელს შეუძლია დაამრგვალოს იგი მეტობით ან ნაკლებობით, შეხედულებისამებრ.


როგორ ჩავატაროთ საკონტროლო წერები საპილოტე კლასებში მათემატიკაში: ტესტებით თუ რვეულებით?
შეკითხვის ავტორი შეიძლება გულისხმობს, საჭიროა თუ არა საკონტროლო დავალებებისათვის ცალკე გამოყოფილი რვეული. ასეთ შემთხვევაში გირჩევთ იქონიოთ რვეული საკონტროლო სამუშაოებისათვის. წლის განმავლობაში თავმოყრილი დავალებები ასე უფრო დაცული იქნება (არ გაგებნევათ) და დაინტერესებულთ ყოველთვის შეეძლებათ მისი დათვალიერება; ხოლო კითხვარები (ტესტებისათვის), რა თქმა უნდა, უმჯობესია ინდივიდუალურად დაურიგოთ მოსწავლეებს.
თუკი შეკითხვის ავტორი გულისხმობს "ტესტების რვეულს საკონტროლო წერისათვის" (სიდამონიძე, გოლოძე), ამ რვეულის გამოყენება ახალი სასწავლო გეგმის პირობებში ნაკლებ ეფექტურად მიგვაჩნია.

მათემატიკის შეფასების კომპონენტში "პროექტი" რას ითვალისწინებს?
პროექტი არის გრძელვადიანი დავალება, რომლის შესრულებას შეიძლება დაჭირდეს რამდენიმე გაკვეთილი. იგი შედგება რამდენიმე საფეხურისაგან. მაგალითად, შესასწავლ ობიექტზე დაკვირვება, ჰიპოთეზის ჩამოყალიბება, მონაცემების შეგროვება (მაგ., დაკვირვების ან/და ექსპერიმენტის შედეგად), მონაცემთა ორგანიზება, დასკვნების ჩამოყალიბება და მისი გადამოწმება.
პროექტზე მუშაობის დასაწყისშივე საჭიროა პროექტის სათაურისა და მიზნების განსაზღვრა. მოსალოდნელი შედეგებისა და სტრატეგიის ჩამოყალიბება. თუმცა, შესაძლებელია გარკვეული მოდიფიკაციები პროექტზე მუშაობის მსვლელობისას.


გთხოვთ მოგვაწოდოთ დაწვრილებითი ინფორმაცია საკონტროლო წერების შესახებ მათემატიკაში. კლასების მიხედვით რა ინტენსივობით უნდა ჩატარდეს და როგორი უნდა იყოს შეფასება?
საკონტროლო წერა არის შეფასების მხოლოდ ერთ-ერთი ფორმა. ამდენად, მათი რაოდენობა და ფორმა არ არის რეგლამენტირებული. ერთადერთი რეკომენდაცია, რომელიც შეიძლება მასწავლებელს მიეცეს ისაა, რომ საკონტროლო წერის სპეციფიკა განსაზღვრავს მის გამორჩეულობას სხვა სახის სამუშაოსაგან. კერძოდ, იგი არის შემაჯამებელი სამუშაო, რომელსაც მოსწავლე კლასში ასრულებს დამოუკიდებლად. აქედან გამომდინარე, საკონტროლო წერის სანდოობის ხარისხი მაღალია (განსხვავებით საშინაო დავალებისაგან, რომლის შესრულების დროსაც მოსწავლეს შეიძლება ვინმე დაეხმაროს). ამის გამო, ჩვენ მიგვაჩნია, რომ საკონტროლო წერის (და მთლიანობაში შემაჯამებელი სამუშაოების) წილი შეფასების ერთიან მაჩვენებელში უნდა იყოს შედარებით მეტი. მთლიანობაში, შეფასების კომპონენტების პროცენტული განაწილება მასწავლებლის კომპეტენციაა. ქვემოთ მოყვანილია ამონარიდი ეროვნული სასწავლო გეგმებისა და შეფასების ცენტრის მიერ შემუშავებული რეკომენდაციებიდან, რომელიც დაკავშირებულია შემაჯამებელი წერითი ნამუშევრის შეფასების კრიტერიუმებთან. ესენია:
•მათემატიკური ობიექტებისა და ენის გამოყენება
•ამოცანის ამოხსნის გზა
•კავშირები და მიმართებები
•გამოთვლები


სახელმძღვანელოს ტექსტი, განსაკუთრებით ისეთ საგანში, როგორიც მათემატიკაა, ხშირად მოსაწყენია მოსწავლეთათვის. ეს ეხება ძირითადად ძველ, არაპილოტირებულ სახელმძღვანელოებს. ხომ ვერ დაგვეხმარებით ისეთი მასალების მოძიებაში, რომლებიც ამა თუ იმ თეორემის, მეცნიერის, მოვლენის შესახებ დამატებით, საინტერესო და სახალისო ინფორმაციას შეიცავს? იქნებ მოგვაწოდოთ ნიმუში VIII კლასის თემატიკიდან.
ალბათ, ინტერესს გამოიწვევს ინფორმაცია პითაგორას თეორემის შესახებ, რაც დაგეხმარებათ მოტივაციის გაზრდაში ამ ასაკობრივ ჯგუფთან:
პითაგორას თეორემა გეომეტრიის ერთ-ერთი უმნიშვნელოვანესი დებულებაა. თავდაპირველად თეორემა აღწერდა დამოკიდებულებას მართკუთხა სამკუთხედის კათეტებსა და ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატების ფართობებს შორის: მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატის ფართობი კათეტებზე აგებული კვადრატების ფართობების ჯამის ტოლია. თანამედროვე გეომეტრია უპირატესობას ანიჭებს პითაგორას თეორემის არითმეტიკულ ფორმულირებას.
პითაგორას თეორემის ერთგვარ განზოგადებას წარმოადგენს დებულება, რომელიც მათემატიკოსთა წრეებში ცნობილია, როგორც "თეორემა ჰიპოკრატეს ნახევარმთვარეების შესახებ". ამ თეორემის თანახმად, თუ მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზაზე, როგორც დიამეტრზე ავაგებთ ნახევარწრეს, მაშინ მისი ფართობი კათეტებზე აგებულ ნახევარწრეთა ფართობების ჯამის ტოლი იქნება.
1622 წელს იოჰან ფულგაბერმა აღმოაჩინა პითაგორას თეორემის სტერეომეტრიული ანალოგი. თუ სამწახნაგა კუთხის (რომლის ყველა ბრტყელი და ორწახნაგა კუთხეები მართია) ყოველ წიბოზე მოვნიშნავთ თითო წერტილს (აღვნიშნოთ ეს წერტილები შესაბამისად A, B და C ასოებით), შევაერთებთ მათ ერთმანეთთან და სამწახნაგა კუთხის O წვეროსთან, მივიღებთ ტეტრაედრს, რომლის წახნაგთა ფართობები აკმაყოფილებენ ტოლობას:

ეჭვს არ იწვევს ის ფაქტი, რომ თეორემაში ჩამოყალიბებული მოსაზრება ცნობილი იყო პითაგორამდე გაცილებით ადრე. ეგვიპტელებმა იცოდნენ, რომ სამკუთხედი, რომლის გვერდების სიგრძეებიც 3, 4 და 5 _ ის ტოლია მართკუთხაა და იყენებდნენ ამ ცოდნას მართი კუთხეების ასაგებად მშენებლობებისას და მიწის ნაკვეთების დაგეგმარებისას (ამ ცოდნას დღესაც იყენებს ბევრი დურგალი თუ მშენებელი). ჩვენამდე მოღწეულ ჩინურ თხზულებაში "ჩჟოუ-ბი" მართკუთხა სამკუთხედთან დაკავშირებულ სხვა ფაქტებთან ერთად ნახსენებია კათეტებისა და ჰიპოტენუზას სიგრძეების დამოკიდებულების შესახებაც. თეორემა ცნობილი იყო ინდოელთათვისაც. ჩვენამდე მოღწეული ცნობები პითაგორას შესახებ ცხადყოფს, რომ მან იმოგზაურა ეგვიპტესა და ბაბილონში. სამხრეთ იტალიაში კი მისი თაოსნობით დაფუძნდა სახელგანთქმული "პითაგორელთა კავშირი", რომლის ინტერესთა სფეროს განეკუთვნებოდა სამეცნიერო, რელიგიურ _ ეთიკური და პოლიტიკური საკითხები. შესაძლოა, პითაგორამ პირველმა განაზოგადა და დაამტკიცა მართკუთხა სამკუთხედის თვისება, რითიც მისი გამოყენების არეალი გააფართოვა პრაქტიკულდან თეორიულამდე. "ევკლიდეს საწყისების" პროკლესეულ კომენტარებში ნათქვამია, რომ პითაგორამ თეორემის აღმოჩენისათვის ღმერთებს სამადლობლად ხარი შესწირა. ფაქტია, რომ ამჟამად დებულება მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების მეტრული თანაფარდობის შესახებ ათასობით ადამიანთა გონებაში მხოლოდ პითაგორას სახელთან ასოცირდება. იგი ითვლება მათემატიკაში ძირეული ცვლილებების ინიციატორად. სწორედ მას ეკუთვნის გეომეტრიის, როგორც დედუქციური მეცნიერების, აგების იდეა.
უხსოვარი დროიდან დღემდე მათემატიკოსები პოულობენ პითაგორას თეორემის დამტკიცების ახალ გზებს. მათი რიცხვი 150-ს აჭარბებს. დამტკიცებათა ხერხები შეიძლება იქნას გაერთიანებული რამოდენიმე ჯგუფში, ესენია: ფიგურათა ტოლდიდობის ცნებაზე დაფუძნებული, ალგებრული, ადიციური (კათეტებზე აგებული კვადრატების დაჭრა ისე, რომ შემდეგ შესაძლებელი იყოს ამ ნაწილებით ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატის აწყობა), შევსების მეთოდზე დაფუძნებული (კათეტებზე აგებულ კვადრატებსაც და ჰიპოტენუზაზე აგებულ კვადრატსაც მიუერთდება ტოლი (კონგრუენტული) ფიგურები ისე, რომ მივიღოთ ტოლდიდი ფიგურები). ხოლო ზოგიერთი დამტკიცება წარმოადგენს ზემოთ მოყვანილი მეთოდების კომბინაციას.
ინტერნეტი (რომელზედაც დღეს საბედნიეროდ ხელი მრავალ მასწავლებელს მიუწვდება) იძლევა საშუალებას მოვიძიოთ მრავალფეროვანი მასალა, როგორც სამეცნიერო _ პოპულარული ლიტერატურა (სამწუხაროდ, ხშირ შემთხვევაში არაქართულენოვანი), ასევე თვალსაჩინოებები. მოგვყავს რამოდენიმე მისამართი, სადაც შესაძლებელია დამატებითი მასალის მოძიება პითაგორას თეორემის შესახებ:
http://www.problems.ru/data/articles/291/
http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml
http://ka.wikipedia.org/wiki/


უკანასკნელი შემსწორებელი: Manana Ratiani. დრო: Mon Jul 16, 2007 1:14 pm. შესწორებათა საერთო რაოდენობა: 6
დაბრუნება დასაწყისში
მომხმარებლის პროფილი პირადი შეტყობინების გაგზავნა
Manana Ratiani



Joined: 07 Jun 2007
წერილი: 188
ადგილმდ.: Tbilisi, Georgia

წერილიგამოგზავნილია: Sat Jun 30, 2007 11:54 am    წერილის სათაური: პასუხი ციტირებით

იწერება თუ არა განსხვავებული დონის სახელმძღვანელო XI-XII კლასის მათემატიკაში. რამდენად შეიძლება განსხვავდებოდეს სახელმძღვანელოებით შეძენილი ცოდნა და უნარები, საკმარისი იქნება თუ არა გამარტივებული პროგრამით ნასწავლი მასალა ერთიანი ეროვნული გამოცდების ჩასაბარებლად?
თითოეულ კლასში, მათემატიკაში გამოყენებული იქნება მხოლოდ ერთი სახელმძღვანელო. ავტორთა კოლექტივებს ეძლევათ რეკომენდაცია, რომ ერთი სახელმძღვანელოს ფარგლებში ერთმანეთისაგან გამიჯნონ ზოგადი და დამატებითი (ან გაღრმავებული კურსის) მასალა. სახელმძღვანელოებით შეძენილი ცოდნა და უნარები, რა თქმა უნდა შეიძლება განსხვავებული იყოს, მაგრამ შეფასებისა და გამოცდების ცენტრთან შეთანხმებისა და თანამშრომლობის შედეგად ერთიანი ეროვნული გამოცდების საკითხების შედგენისას გათვალისწინებული იქნება მხოლოდ ის მინიმალური ცოდნა და უნარები, რომლებიც განსაზღვრულია მათემატიკის ეროვნული სასწავლო გეგმით. აქედან გამომდინარე, ძირითადი ორიენტირი იქნება არა დამატებითი მასალის შესწავლისას ან გაღრმავებული კურსის გავლისას მიღებული ცოდნა, არამედ მხოლოდ ზოგადი კურსის გავლის შედეგად მიღებული ცოდნა.


2006-2007 სასწავლო წელს VII კლასის სახელმძღვანელოდ მათემატიკაში ავირჩიეთ წიგნი, რომელიც რთულად გვეჩვენება, შეიძლება თუ არა მომავალი წლიდან გადავიდეთ ალტერნატიულ სახელმძღვანელოზე?
ეროვნულ სასწავლო გეგმებში მითითებულია, რომ სკოლის საგნობრივი კათედრის არჩევანი ძალაშია 3 წლის განმავლობაში (იხ. ეროვნული სასწავლო გეგმა, გვ. 5). თუ თქვენი არჩევანი ნაჩქარევი იყო, არსებობს გამოსავალიც. მაგ. გირჩევთ, ჩვენი მეშვეობით დაუკავშირდეთ ავტორთა ჯგუფს, რომლებიც მოგაწვდიან საჭირო დამხმარე რეკომენდაციებს ამა თუ იმ სავარჯიშოს შესახებ, რომელიც გაგიიოლებთ მოწაფეებთან კომუნიკაციას.


მათემატიკის ახალი სახელმძღვანელო ძალიან ცოტა მსგავსი სავარჯიშოს შემცველია. შეიძლება თუ არა დამატებით ძველი სავარჯიშოების გამოყენება?
შეკითხვის ავტორს შესაძლოა აწუხებს ერთმანეთის მსგავსი სავარჯიშოების ნაკლებობა რომელიმე სახელმძღვანელოში. ასეთ შემთხვევაში, ცხადია, მას შეუძლია გამოიყენოს მის ხელთ არსებული მასალა, იქნება ეს ძველი სახელმძღვანელო თუ ამოცანათა კრებული. ამასთან, აღვნიშნავთ, რომ, თითოეული პარაგრაფის ტექსტში გადმოცემული შინაარსის უკეთ გასააზრებლად და შესასწავლად თქვენს მიერ შერჩეული სავარჯიშოები არ უნდა იყოს ერთფეროვანი და შინაარსის მხოლოდ ერთ რომელიმე ასპექტზე ორიენტირებული.


VII კლასის მათემატიკის სახელმძღვანელოსთან დაკავშირებით (ავტორები: გოგიშვილი, ვეფხვაძე, მებონია...) მაქვს ასეთი მოსაზრება; რადგან მოსწავლეებს ფიზიკა არ უსწავლიათ და არ იციან რა არის მუხტი, სასურველია, მთელი რიცხვების შეკრება და გამოკლება განხილული იყოს სხვა ხერხით, მაგალითად, რიცხვითი წრფის გამოყენებით.
მთელ რიცხვებზე არითმეტიკული მოქმედებების შესრულებისას, მუხტი გამოიყენება მხოლოდ როგორც ერთ-ერთი მოდელი, რომლის დანიშნულებაა მოსწავლეს გაუადვილოს ზოგიერთი უჩვეულო, აბსტრაქტული ცნებისა, თუ მოქმედების გააზრება. ამ შემთხვევაში სიტყვა "მუხტი" გამოიყენება არა როგორც რაიმე ფიზიკურ მოვლენასთან დაკავშირებული სიდიდე, არამედ როგორც პირობითი ტერმინი. თუ მასწავლებელი ამჩნევს, რომ ესა თუ ის დამხარე მოდელი მოსწავლისათვის დამატებით სირთულეებს ქმნის, მაშინ შეიძლება გამოვიყენოთ სხვა, უფრო ადეკვატური მოდელი. მაგ. ამავე დანიშნულებით შეიძლება გამოვიყენოთ, სასწორი ან, თუნდაც კითხვაში ნახსენები რიცხვითი წრფე. Mმთლიანობაში, შევნიშნავთ რომ მოდელს (თუნდაც ეს იყოს რომელიმე სახელმძღვანელოში გამოყენებული მოდელი), აქვს მხოლოდ დამხმარე საშუალების დანიშნულება და იგი არ განიხილება, როგორც სავალდებულო სასწავლო მასალა. იგივე დასკვნის გამოტანა შეიძლება, თუკი ყურადღებით წავიკითხავთ მათემატიკის ეროვნულ სასწავლო გეგმას.


მესამე კლასში მათემატიკაში I კომპონენტად დასახელებულია "კონსტრუირება". იმის გამო, რომ მასწავლებელს არ გააჩნია თვალსაჩინო მასალა, არის თუ არა აუცილებელი ამ კომპონენტით შეფასდეს ყველა მოსწავლე ყოველდღიურად, თუ შეიცვალოს კომპონენტი თემის შესაბამისად? კონსტრუირებაში იგულისხმება გეომეტრიული ობიექტების გამოსახვა (დახაზვა, გამოჭრა, მოდელის დამზადება), მანიპულაციები გეომეტრიული ობიექტების მოდელებით. კონსტრუირების ნიმუშად შეიძლება ჩაითვალოს ასეთი ტიპის დავალებები: მრავალკუთხედის წიგნში მოცემულ რომელიღაც გამოსახულებაში გაავლეთ მონაკვეთი ისე, რომ მიიღოთ მაგ. ორი სამკუთხედი, განალაგეთ ასანთის ღერები რაღაც მზა სქემის მიხედვით და ა.შ. დარწმუნებული ვართ, რომ არც თქვენ გაგიჭირდებათ ამ ტიპის აქტივობების მოფიქრება თქვენს ხელთ არსებული მასალების გამოყენებით. ეს აქტივობები გაამრავალფეროვნებს გაკვეთილებს და მოსწავლეს განუვითარებს სივრცის აღქმისათვის აუცილებელ კონსტრუირების უნარს.



კონკრეტულად რა იგულისხმება და როგორ უნდა შეფასდეს მოსწავლე მათემატიკაში შემდეგ კომპონენტებში: კონსტრუირება და პროექტი (ამ უკანასკნელზე პასუხი იყო გაზეთის მეორე ნომერში, მაგრამ მაინც გაუგებარია. იქნებ უფრო მარტივად გაგვცეთ პასუხი)?
ეროვნული სასწავლო გეგმებისა და შეფასების ცენტრის მიერ შემუშავებულ რეკომენდაციებში კონსტრუირება არ განიხილება როგორც შეფასების ცალკე კომპონენტი. კონსტრუირება არის სამუშაოს ერთ-ერთი ფორმა, რომელიც მოსწავლემ შეიძლება შეასრულოს როგორც საშინაო დავალების დროს ასევე პრეზენტაციის დროს, ან პროექტზე მუშაობისას. კონსტრუირების მაგალითებია აგების ამოცანები გეომეტრიაში, ფიგურების შექმნა სხვადასხვა მასალის გამოყენებით, შლილების დამზადება, გრაფიკის, დიაგრამის ან სქემის აგება, მარშრუტის გამოსახვა გრაფის საშუალებით და ა.შ. ამდენად კონსტრუირების შეფასების კრიტერიუმები ბუნებრივად გამომდინარეობს სამუშაოს სახეობიდან.
დაბრუნება დასაწყისში
მომხმარებლის პროფილი პირადი შეტყობინების გაგზავნა
Manana Ratiani



Joined: 07 Jun 2007
წერილი: 188
ადგილმდ.: Tbilisi, Georgia

წერილიგამოგზავნილია: Tue Jul 17, 2007 1:53 pm    წერილის სათაური: პასუხი ციტირებით

ჩვენი აზრით მოსწავლეებს უნდა მიეცეთ საშუალება მათემატიკის ზოგადი კურსი ისწავლონ. იქნება თუ არა განსხვავებული პროგრამა XI და XII კლასებში მოსწავლეებისთვის, რომლებსაც არ სურთ მათემატიკის გაღრმავებული სწავლა? თუ კი _ მაშინ რამდენი კვირეული საათი დაეთმობა თითოეულს.
ეროვნული სასწავლო გეგმის ბოლო რედაქციაში აღნიშნულია, რომ საშუალო სკოლის ყველა მოსწავლე შეისწავლის მათემატიკის ზოგად კურსს. X კლასში მათემატიკის სწავლებას ეთმობა 5 საათი, XI და XII კლასებში კი, სავარაუდოდ, 4-4 საათი. თუ სკოლას აქვს სურვილი, სამეურვეო საბჭოსთან შეთანხმების საფუძველზე, შესაძლებელია საათობრივი ბადის ცვლილება – შემცირება ან გაზრდა 25%-ით.


საპილოტე II კლასში ვმუშაობთ გ.ბერიშვილის სახელმძღვანელოთი. ამჟამად სახელმძღვანელოში ყოველი ათი გაკვეთილის შემდეგ არის დამოუკიდებელი სამუშაო, რომელშიც არის 4-5 საკითხი, თანაც გვაქვს ტესტების რვეულებიც. აუცილებელია თუ არა გვქონდეს საკონტროლო წერის რვეული ცალკე, და თუ აუცილებელია სემესტრში რამდენჯერ უნდა ჩატარდეს საკონტროლო წერა?
ყველა მითითება ავტორისაგან საკონტროლო წერის თემატიკისა და ჩატარების სიხშირის შესახებ მხოლოდ სარეკომენდაციო ხასიათისაა. თქვენ გაქვთ საშუალება თვითონ შეარჩიოთ საკითხები თქვენი კლასის ვითარების ადეკვატურად (მაგ., ავტორის შემოთავაზებულზე უფრო იოლი ან რთული საკითხები აირჩიოთ) და ჩატარების სიხშირეც თქვენი კლასის სპეციფიკით განსაზღვროთ. იგივე შეიძლება ითქვას საკონტროლო წერის რვეულის შესახებ –მისი გამოყენების აუცილებლობა მასწავლებელმა უნდა განსაზღვროს ვითარების მიხედვით.


რამდენად მართებულია საპილოტე სკოლის XI კლასში II ტრიმესტრის ბოლოს მათემატიკის სახელმძღვანელოს შეცვლა მათემატიკაში?
XI კლასში პილოტირებას გადის გამომცემლობა "ინტელექტის" სახელმძღვანელო. მისი ჩანაცვლება სხვა სახელმძღვანელოთი არ იგეგმება.


თუ რომელიმე თემის სწავლება მათემატიკაში უფრო მიზანშეწონილად მიმაჩნია ძველი სახელმძღვანელოდან, შეიძლება თუ არა ძველის გამოყენება?
ცხადია, შეიძლება, თუ ეს მოსწავლეს დამატებით სიძნელეებს არ შეუქმნის (არ მოუწევთ ძველი სახელმძღვანელოს შეძენა ან ქსერო-ასლის გადაღება). დამხმარე ლიტერატურის გამოყენება, იქნება ეს ამოცანათა კრებულები თუ ძველი სახელმძღვანელოები, მხოლოდ წაადგება სწავლების პროცესს. გირჩევთ მოიძიოთ ელექტრონული რესურსებიც (ვიზუალური მასალა, თვალსაჩინოებები, გაკვეთილის გეგმები). გთავაზობთ მათემატიკური წიგნების ელექტრონული ბიბლიოთეკის მისამართს: http://ilib.mccme.ru/


მეორე კლასის მათემატიკის წიგნში არის წერითი დავალებები, ასევე დამატებით მოჰყვება ტესტირების რვეული. შეიძლება თუ არა ავიღოთ ცალკე რვეული და მოსწავლეები ვამუშაოთ მასში?
დაწყებითი კლასების მათემატიკის სახელმძღვანელოებს მართლაც ახლავს ხშირად დამატებითი მასალა: "ტესტების რვეული", "სავარჯიშო რვეული" და ა.შ. მათი ფუნქციაა, რომ გაკვეთილის დროს ნაკლები დრო დაიხარჯოს დაფიდან სავარჯიშოების გადაწერაზე, რაც მნიშვნელოვანია დაწყებითი კლასებთან მუშაობისას. მაგრამ თუ ეს დამხმარე მასალა სახელმძღვანელოს არ მოყვება და მისი შეძენა აუცილებელია, ხარჯისაგან თავის არიდების მიზნით, შესაძლებელია ჩვეულებრივ რვეულებში მუშაობა. მასწავლებელი უნდა შეეცადოს, ამით მოსწავლეებს რაიმე განსაკუთრებული სირთულე არ შეუქმნას.
დაბრუნება დასაწყისში
მომხმარებლის პროფილი პირადი შეტყობინების გაგზავნა
Manana Ratiani



Joined: 07 Jun 2007
წერილი: 188
ადგილმდ.: Tbilisi, Georgia

წერილიგამოგზავნილია: Wed Jul 18, 2007 1:36 pm    წერილის სათაური: პასუხი ციტირებით

რომელი თემების განხილვისას არის მიზანშეწონილი ჯგუფური მუშაობის გამოყენება მათემატიკაში?
ჯგუფური მუშაობისათვის განკუთვნილი დავალება შეიძლება შეირჩეს ნებისმიერი თემატიკიდან. მთავარია დავალებას გააჩნდეს ის ნიშან-თვისებები, რომლებიც უნდა ახასიათებდეს ჯგუფურ მუშაობას. კერძოდ, შესაძლებელი უნდა იყოს სამუშაოს ბუნებრივი გადანაწილება ჯგუფის წევრებს შორის. მაგალითად, დავალება, რომელიც საჭიროებს მონაცემთა შეგროვებას, გაზომვებს, მონაცემთა ორგანიზებას, გამოთვლების შესრულებას.

შეიძლება თუ არა მათემატიკის მასწავლებელმა გაკვეთილის ახსნის ნაცვლად მუდმივად ერთი ტიპის მეთოდი გამოიყენოს: X კლასელ მოსწავლეები დასვას ჯგუფურად, კლასშივე წააკითხოს გაკვეთილი, ადგილზე მოაყოლოს (როგორც თვითონ ამბობს _ გააკეთებინოს "პრეზენტაცია") და ჩათვალოს რომ მათ ყველაფერი გაიგეს? ჩემი შვილი (მისი მეგობრებიც) ვერ ახერხებს მასალის გაგებას, პროგრამა საკმაოდ რთულია. არადა ყველას მშობელს არ აქვს შესაძლებლობა ან მოამზადოს, ან თვითონ დაეხმაროს მას.
არსებობს სწავლების ისეთი ფორმა, როდესაც მოსწავლე, მასწავლებლის დახმარებით, დამოუკიდებლად ღებულობს ახალ ცოდნას და ივითარებს უნარებს. თუმცა, ეს არ დაიყვანება წიგნში მოცემული მასალის წაკითხვაზე და მის მოყოლაზე. ინტერაქტიული სწავლებისას, მასწავლებლის როლი გადამწყვეტია. მას კარგად უნდა ჰქონდეს გააზრებული ყოველი ნაბიჯი (დავალება, შეკითხვა) და მუდმივი დაკვირვების საფუძველზე განსაზღვრავდეს შემდგომ ნაბიჯს. გარდა ამისა, ახლადწაკითხული მასალის მოყოლას არ შეიძლება ეწოდოს პრეზენტაცია. პრეზენტაციის ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი კომპონენტია აუდიტორიის შეკითხვებზე პასუხის გაცემა, ეს კი ამ შემთხვევაში ნაკლებად მოსალოდნელია. ამასთანავე ამგვარი “პრეზენტაციის” საშუალება მხოლოდ 1-2 მოსწავლეს შეიძლება მიეცეს, რაც დანარჩენებს პასიურ მდგომარეობაში ტოვებს.

შეიძლება თუ არა, არასაპილოტე კლასებში შეფასდეს ალგებრა-გეომეტრია ერთი ნიშნით, ისე როგორც ვიქცევით VII და X კლასებში?
VIII, IX და XI კლასებში მათემატიკის სწავლება ხორციელდება ძველი სასწავლო გეგმით, რომლის მიხედვითაც ალგებრა და გეომეტრია სხვადასხვა საგნებია. აქედან გამომდინარე, ამ საგნებში ნიშნები დაიწერება ისე, როგორც ადრე ხდებოდა, მხოლოდ ათქულიანი შეფასების შკალით. მაგრამ, თუ მასწავლებელი ახერხებს მათემატიკის ამ მიმართულებების ინტეგრირებულ სწავლებას, მაშინ შესაძლებელია მოსწავლე შეფასდეს ერთი ნიშნით, ისევე როგორც ეს ხდება იმ კლასებში, რომლებშიც სწავლება მიმდინარეობს ახალი ეროვნული სასწავლო გეგმით.

შეგიძლიათ თუ არა გვირჩიოთ სახელმძღვანელოს გარდა რა რესურსები გამოვიყენოთ მაღალ კლასებში მათემატიკის გაკვეთილზე, ისე რომ ჩვენი სკოლის გამოშვებებმა მაღალი შედეგი აჩვენონ უნარ-ჩვევების გამოცდაზე?
გირჩევთ გამოიყენოთ ახალი სახელმძღვანელოები და რაც მთავარია, ეროვნული სასწავლო გეგმა, რომლის მიხედვითაც დამოუკიდებლად შეარჩევთ საჭირო მასალას (როგორც თეორიულს, ასევე სავარჯიშოებს). გარდა ამისა, ზოგადი უნარების განვითარებას განსაკუთრებით ხელს უწყობს ტექნოლოგიების გამოყენება (მაგალითად ელექტრონული ცხრილების გამოყენება მონაცემებთან და დიაგრამებთან მუშაობისას).

დასაშვები არის თუ არა ერთმა პარალელურმა კლასმა ისწავლოს უფრო ინტენსიური კურსით მათემატიკა საშუალო სკოლაში?
ამის საჭიროება მომდინარეობს მოსწავლეების უკვე გამოკვეთილი მისწრაფებებიდან.
მათემატიკის, ისევე როგორც ნებისმიერი სხვა საგნის სწავლების ინტენსივობა უნდა განსაზღვროს თვით მასწავლებელმა, რომელიც მუშაობს კონკრეტულ კლასთან. ამ შემთხვევაში უმთავრესი მიზანი უნდა იყოს ის, რომ წლის ბოლოს თითოეული მოსწავლისათვის მიღწეული იქნას სასწავლო გეგმით განსაზღვრული შედეგები. იმ შემთხვევაში, თუ მასწავლებელი ამჩნევს, რომ ამა თუ იმ შედეგისაკენ სვლის ტემპი შესამჩნევად მაღალია, ჩვენი აზრით, უმჯობესია აქცენტი გაკეთდეს არა ე.წ. დამატებითი მასალის მიწოდებაზე, არამედ უკვე ნასწავლის გაღრმავებულ ათვისებაზე. ეს შეიძლება გამოიხატოს საკითხის სხვადასხვა ასპექტის, სხვადასხვა მიმართულებებსა და სხვა დისციპლინებთან კავშირების წარმოჩენით; მოსწავლისათვის უფრო კომპლექსური უნარების განვითარებით.


თუკი მოსწავლე არ არის ძლიერი თეორიულ ნაწილში და ვერ ამტკიცებს სხვადასხვა თეორემებს, სამაგიეროდ კარგად ართმევს თავს პრაქტიკულ ნაწილს, ხსნის ყველანაირ სავარჯიშოებს. როგორ უნდა შეფასდეს ასეთი მოსწავლე VII და X სარეფორმო კლასებში. გაითვალისწინეთ, რომ ასეთი მოსწავლეები ბევრნი არიან.
მიგვაჩნია, რომ თეორემებისა და დებულებების დამტკიცება და საზოგადოდ მსჯელობა-დასაბუთების უნარის განვითარება მათემატიკის სწავლების ისეთივე მნიშვნელოვანი მიზანია, როგორც გამოთვლების, ალგებრული გარდაქმნებისა და სხვა პროცედურული უნარების განვითარება. გარდა ამისა, მათემატიკის სწავლებისას ყურადღება უნდა მიექცეს ისეთი მნიშვნელოვანი უნარების განვითარებას, როგორებიცაა კომუნიკაცია და მოდელირება. ჩვენი აზრით, ყველა ამ უნარის განვითარება თანაბრად მნიშვნელოვანია და ამდენად შემაჯამებელი შეფასებისას ყველა მათგანი თანაბრად უნდა იქნას გათვალისწინებული.


შეიძლება თუ არა მათემატიკის პედაგოგმა წინ გაუსწროს სავარაუდო თემატურ გეგმას, თუ კლასი ძლიერია და ამის საშუალებას გვაძლევს, მორჩენილი საათები კი გამოიყენოს შეხედულებისამებრ?
ეს შეკითხვა ნაწილობრივ უკავშირდება წინა შეკითხვას. თუმცა არის არის ერთი მნიშვნელოვანი რამ რასაც ხაზი უნდა გაესვას: თემატური გეგმა, ანუ ის, თუ როგორ იყენებს მასწავლებელი სახელმძღვანელოს ან/და რაიმე სხვა დამხმარე მასალას, პირველ რიგში განისაზღვრება თვით მასწავლებლის მიერ. ხშირად სახელმძღვანელოს ავტორი მასწავლებელს თვითონ სთავაზობს ამგვარ გეგმას, მაგრამ ეს გეგმა მხოლოდ სარეკომენდაციო ხასიათისაა. მისი ცვლილება, არამარტო დროში განაწილების, არამედ მიმდევრობის თვალსაზრისითაც მასწავლებლის პრეროგატივაა.
რაც შეეხება მორჩენილი საათების გამოყენებას, როგორც 1 შეკითხვის პასუხში აღვნიშნეთ, ჩვენი აზრით, უფრო ადეკვატური იქნება, თუ მასწავლებელი და მოსწავლეები ამ საათებს გამოიყენებენ უკვე ნასწავლის უფრო ღრმად გააზრებაში, მისი ახალი ასპექტებისა და კავშირების წარმოჩენაში, კომპლექსური უნარების განვითარებაში.


X კლასის მათემატიკის სახელმძღვანელო ავტ. გოგეშვილი, მებონია _ ზოგიერთ პარაგრაფს სათაურთან დართული აქვს შავი მართკუთხედები. რა ნიშნავს ეს?
სახელმძღვანელოს ავტორთა განმარტებით, შავი მართკუთხედი გამოიყენება, როგორც პირობითი აღნიშვნა პარაგრაფის სტრუქტურული ერთეულის გამოსაყოფად. ეს ნიშანი თან ახლავს ყველა ქვეპარაგრაფს. მას სხვა რაიმე შინაარსობრივი დატვირთვა არ გააჩნია.


საშუალო სკოლის მათემატიკის პედაგოგისგან მშობლები ითხოვენ ზოგად უნარებში შესული საკითხების ადეკვატური საკითხების სწავლებას. ეს მოთხოვნა განპირობებულია ერთიან ეროვნულ გამოცდაზე ვაუჩერის მოპოვების წესით. როგორ შეიძლება რომ მოვიქცეთ?
სასწავლო პროცესი, რომელიც ეფუძნება ეროვნულ სასწავლო გეგმას, ხელს უწყობს ყველა იმ უნარის განვითარებას, რომლებიც საჭიროა საერთო ეროვნული გამოცდების წარმატებით ჩასაბარებლად. აქედან გამომდინარე, "ზოგად უნარებში შესული საკითხების" შესასწავლად სასწავლო დროის ნაწილის საგანგებოდ გამოყოფის აუცილებლობა არ არსებობს.


საკმარისია თუ არა ახალ სახელმძღვანელოებში შესული საკითხების ცოდნა მათემატიკის მასწავლებლის სერტიფიკატის მოსაპოვებლად, თუ საჭიროა დამატებითი მასალის ცოდნა? თუკი არ არის საკმარისი მაშინ რითი ვიხელმძღვანელოთ?
სახელმძღვანელოში შესული საკითხების ზედმიწევნით კარგად ცოდნა აუცილებელია, თუმცა არასაკმარისი. ამ საკითხებთან ერთად, მასწავლებელი უნდა ფლობდეს მათი მოსწავლეთათვის მიწოდების მეთოდიკას. უახლოეს ხანებში გამოქვეყნდება სტანდარტი, რომლითაც განისაზღვრება მასწავლებლის სერთიფიკატის მისაღებად საჭირო მოთხოვნები. მასში წარმოდგენილი იქნება, როგორც შინაარსის, ასევე მეთოდიკის ფლობასთან დაკავშირებული ნაწილი.


აუცილებლად მიგვაჩნია მოსწავლეების გაყოფა სიძლიერის მიხედვით, განსაკუთრებით მაღალ კლასებში, იჩაგრებიან მათემატიკაში ძლიერი მოსწავლეები, თუკი მათ უწევთ უფრო სუსტი მოსწავლეების დონეზე სწავლება. შეიძლება თუ არა სკოლას მოვთხოვოთ კლასების ამგვარი დიფერენცირება?
მოსწავლეების გაყოფა სიძლიერის მიხედვით ეწინააღმდეგება ზოგადსაგანმანათლებლო სკოლის საყოველთაობის პრინციპს. შეკითხვაში წამოჭრილი პრობლემის დაძლევა შესაძლებელია გაკვეთილის იმგვარად დაგეგმვით, როცა სუსტ მოსწავლეს აქტიურად ეხმარება "ძლიერი". სკოლის ფუნქციაა მაქსიმალურად დაეხმაროს მოსწავლეს, რომელსაც გარკვეული პრობლემები აქვს ამა თუ იმ საგნის შესწავლაში. ამ პრობლემების მოგვარებას კი მოსწავლეთა იზოლაცია ხელს ვერ შეუწყობს. (იხ. ეროვნული სასწავლო გეგმა, გვ. 3)
დაბრუნება დასაწყისში
მომხმარებლის პროფილი პირადი შეტყობინების გაგზავნა
Display posts from previous:   
ახალი თემის შექმნა   პასუხი თემაზე       ganatleba.org -> საგნობრივი საკითხები All times are GMT
გვერდი ნომერი 1(სულ - 1)

 
აირჩიე:  
ამ განყოფილებაში თქვენ არ შეგიძლიათ ახალი თემის გახსნა
ამ განყოფილებაში თქვენ არ შეგიძლიათ, თემებზე პასუხის გაცემა
ამ განყოფილებაში თქვენ არ შეგიძლიათ საკუთარი წერილების რედაქტირება
ამ განყოფილებაში თქვენ არ შეგიძლიათ საკუთარი წერილების წაშლა
ამ განყოფილებაში თქვენ არ შეგიძლიათ ხმის მიცემა კენჭისყრისას
You cannot attach files in this forum
You cannot download files in this forum